python解決目標函數(shù) python目標函數(shù)優(yōu)化模型
python遺傳算法目標函數(shù)怎么編
一、遺傳算法介紹
公司主營業(yè)務：成都網(wǎng)站建設(shè)、網(wǎng)站設(shè)計、移動網(wǎng)站開發(fā)等業(yè)務。幫助企業(yè)客戶真正實現(xiàn)互聯(lián)網(wǎng)宣傳，提高企業(yè)的競爭能力。成都創(chuàng)新互聯(lián)公司是一支青春激揚、勤奮敬業(yè)、活力青春激揚、勤奮敬業(yè)、活力澎湃、和諧高效的團隊。公司秉承以“開放、自由、嚴謹、自律”為核心的企業(yè)文化，感謝他們對我們的高要求，感謝他們從不同領(lǐng)域給我們帶來的挑戰(zhàn)，讓我們激情的團隊有機會用頭腦與智慧不斷的給客戶帶來驚喜。成都創(chuàng)新互聯(lián)公司推出道里免費做網(wǎng)站回饋大家。
遺傳算法是通過模擬大自然中生物進化的歷程，來解決問題的。大自然中一個種群經(jīng)歷過若干代的自然選擇后，剩下的種群必定是適應環(huán)境的。把一個問題所有的解看做一個種群，經(jīng)歷過若干次的自然選擇以后，剩下的解中是有問題的最優(yōu)解的。當然，只能說有最優(yōu)解的概率很大。這里，我們用遺傳算法求一個函數(shù)的最大值。
f(x) = 10 * sin( 5x ) + 7 * cos( 4x ), 0 = x = 10
1、將自變量x進行編碼
取基因片段的長度為10, 則10位二進制位可以表示的范圍是0到1023?；蚺c自變量轉(zhuǎn)變的公式是x = b2d(individual) * 10 / 1023。構(gòu)造初始的種群pop。每個個體的基因初始值是[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
2、計算目標函數(shù)值
根據(jù)自變量與基因的轉(zhuǎn)化關(guān)系式，求出每個個體的基因?qū)淖宰兞浚缓髮⒆宰兞看牒瘮?shù)f（x），求出每個個體的目標函數(shù)值。
3、適應度函數(shù)
適應度函數(shù)是用來評估個體適應環(huán)境的能力，是進行自然選擇的依據(jù)。本題的適應度函數(shù)直接將目標函數(shù)值中的負值變成0. 因為我們求的是最大值，所以要使目標函數(shù)值是負數(shù)的個體不適應環(huán)境，使其繁殖后代的能力為0.適應度函數(shù)的作用將在自然選擇中體現(xiàn)。
4、自然選擇
自然選擇的思想不再贅述，操作使用輪盤賭算法。其具體步驟：
假設(shè)種群中共5個個體，適應度函數(shù)計算出來的個體適應性列表是fitvalue = [1 ,3, 0, 2, 4] ，totalvalue = 10 ， 如果將fitvalue畫到圓盤上，值的大小表示在圓盤上的面積。在轉(zhuǎn)動輪盤的過程中，單個模塊的面積越大則被選中的概率越大。選擇的方法是將fitvalue轉(zhuǎn)化為[1 ， 4 ，4 , 6 ，10], fitvalue / totalvalue = [0.1 , 0.4 , 0.4 , 0.6 , 1.0] . 然后產(chǎn)生5個0-1之間的隨機數(shù)，將隨機數(shù)從小到大排序，假如是[0.05 , 0.2 , 0.7 , 0.8 ,0.9]，則將0號個體、1號個體、4號個體、4號個體、4號個體拷貝到新種群中。自然選擇的結(jié)果使種群更符合條件了。
5、繁殖
假設(shè)個體a、b的基因是
a = [1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0]
b = [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1]
這兩個個體發(fā)生基因交換的概率pc = 0.6.如果要發(fā)生基因交換，則產(chǎn)生一個隨機數(shù)point表示基因交換的位置，假設(shè)point = 4,則：
a = [1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0]
b = [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1]
交換后為：
a = [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1]
b = [0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0]
6、突變
遍歷每一個個體，基因的每一位發(fā)生突變（0變?yōu)?,1變?yōu)?）的概率為0.001.突變可以增加解空間
二、代碼
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def b2d(b): #將二進制轉(zhuǎn)化為十進制 x∈[0,10] t = 0 for j in range(len(b)): t += b[j] * (math.pow(2, j)) t = t * 10 / 1023 return tpopsize = 50 #種群的大小#用遺傳算法求函數(shù)最大值：#f(x)=10*sin(5x)+7*cos(4x) x∈[0,10]chromlength = 10 #基因片段的長度pc = 0.6 #兩個個體交叉的概率pm = 0.001; #基因突變的概率results = [[]]bestindividual = []bestfit = 0fitvalue = []tempop = [[]]pop = [[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] for i in range(popsize)]for i in range(100): #繁殖100代 objvalue = calobjvalue(pop) #計算目標函數(shù)值 fitvalue = calfitvalue(objvalue); #計算個體的適應值 [bestindividual, bestfit] = best(pop, fitvalue) #選出最好的個體和最好的函數(shù)值 results.append([bestfit,b2d(bestindividual)]) #每次繁殖，將最好的結(jié)果記錄下來 selection(pop, fitvalue) #自然選擇，淘汰掉一部分適應性低的個體 crossover(pop, pc) #交叉繁殖 mutation(pop, pc) #基因突變 results.sort() print(results[-1]) #打印函數(shù)最大值和對應的
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def best(pop, fitvalue): #找出適應函數(shù)值中最大值，和對應的個體 px = len(pop) bestindividual = [] bestfit = fitvalue[0] for i in range(1,px): if(fitvalue[i] bestfit): bestfit = fitvalue[i] bestindividual = pop[i] return [bestindividual, bestfit]
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def calfitvalue(objvalue):#轉(zhuǎn)化為適應值，目標函數(shù)值越大越好，負值淘汰。 fitvalue = [] temp = 0.0 Cmin = 0; for i in range(len(objvalue)): if(objvalue[i] + Cmin 0): temp = Cmin + objvalue[i] else: temp = 0.0 fitvalue.append(temp) return fitvalue
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import mathdef decodechrom(pop): #將種群的二進制基因轉(zhuǎn)化為十進制（0,1023） temp = []; for i in range(len(pop)): t = 0; for j in range(10): t += pop[i][j] * (math.pow(2, j)) temp.append(t) return tempdef calobjvalue(pop): #計算目標函數(shù)值 temp1 = []; objvalue = []; temp1 = decodechrom(pop) for i in range(len(temp1)): x = temp1[i] * 10 / 1023 #（0,1023）轉(zhuǎn)化為 （0,10） objvalue.append(10 * math.sin(5 * x) + 7 * math.cos(4 * x)) return objvalue #目標函數(shù)值objvalue[m] 與個體基因 pop[m] 對應
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import randomdef crossover(pop, pc): #個體間交叉，實現(xiàn)基因交換 poplen = len(pop) for i in range(poplen - 1): if(random.random() pc): cpoint = random.randint(0,len(pop[0])) temp1 = [] temp2 = [] temp1.extend(pop[i][0 : cpoint]) temp1.extend(pop[i+1][cpoint : len(pop[i])]) temp2.extend(pop[i+1][0 : cpoint]) temp2.extend(pop[i][cpoint : len(pop[i])]) pop[i] = temp1 pop[i+1] = temp2
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import randomdef mutation(pop, pm): #基因突變 px = len(pop) py = len(pop[0]) for i in range(px): if(random.random() pm): mpoint = random.randint(0,py-1) if(pop[i][mpoint] == 1): pop[i][mpoint] = 0 else: pop[i][mpoint] = 1
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import randomdef sum(fitvalue): total = 0 for i in range(len(fitvalue)): total += fitvalue[i] return totaldef cumsum(fitvalue): for i in range(len(fitvalue)): t = 0; j = 0; while(j = i): t += fitvalue[j] j = j + 1 fitvalue[i] = t;def selection(pop, fitvalue): #自然選擇（輪盤賭算法） newfitvalue = [] totalfit = sum(fitvalue) for i in range(len(fitvalue)): newfitvalue.append(fitvalue[i] / totalfit) cumsum(newfitvalue) ms = []; poplen = len(pop) for i in range(poplen): ms.append(random.random()) #random float list ms ms.sort() fitin = 0 newin = 0 newpop = pop while newin poplen: if(ms[newin] newfitvalue[fitin]): newpop[newin] = pop[fitin] newin = newin + 1 else: fitin = fitin + 1 pop = newpop
學習多目標優(yōu)化需要掌握哪些python知識
多目標優(yōu)化
目標優(yōu)化問題一般地就是指通過一定的優(yōu)化算法獲得目標函數(shù)的最優(yōu)化解。當優(yōu)化的目標函數(shù)為一個時稱之為單目標優(yōu)化(Single-
objective Optimization Problem,
SOP)。當優(yōu)化的目標函數(shù)有兩個或兩個以上時稱為多目標優(yōu)化(Multi-objective Optimization Problem,
MOP)。不同于單目標優(yōu)化的解為有限解，多目標優(yōu)化的解通常是一組均衡解。
多目標優(yōu)化算法歸結(jié)起來有傳統(tǒng)優(yōu)化算法和智能優(yōu)化算法兩大類。
1. 傳統(tǒng)優(yōu)化算法包括加權(quán)法、約束法和線性規(guī)劃法等，實質(zhì)上就是將多目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標函數(shù)，通過采用單目標優(yōu)化的方法達到對多目標函數(shù)的求解。
2. 智能優(yōu)化算法包括進化算法（Evolutionary Algorithm, 簡稱EA）、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）等。
Pareto最優(yōu)解：
若x*∈C*,且在C中不存在比x更優(yōu)越的解x，則稱x*是多目標最優(yōu)化模型式的Pareto最優(yōu)解，又稱為有效解。
一般來說，多目標優(yōu)化問題并不存在一個最優(yōu)解，所有可能的解都稱為非劣解，也稱為Pareto解。傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)一般每次能得到Pareo解集中的一個，而
用智能算法來求解，可以得到更多的Pareto解，這些解構(gòu)成了一個最優(yōu)解集，稱為Pareto最優(yōu)解。它是由那些任一個目標函數(shù)值的提高都必須以犧牲其
他目標函數(shù)值為代價的解組成的集合,稱為Pareto最優(yōu)域，簡稱Pareto集。
Pareto有效(最優(yōu))解非劣解集是指由這樣一些解組成的集合：與集合之外的任何解相比它們至少有一個目標函數(shù)比集合之外的解好。
求解多目標優(yōu)化問題最有名的就是NSGA-II了，是多目標遺傳算法，但其對解的選擇過程可以用在其他優(yōu)化算法上，例如粒子群，蜂群等等。這里簡單介紹一下NSGA-II的選擇算法。主要包含三個部分：
1. 快速非支配排序
要先講一下支配的概念，對于解X1和X2，如果X1對應的所有目標函數(shù)都不比X2大（最小問題），且存在一個目標值比X2小，則X2被X1支配。
快速非支配排序是一個循環(huán)分級過程：首先找出群體中的非支配解集，記為第一非支配層，irank=1（irank是個體i的非支配值），將其從群體中除去，繼續(xù)尋找群體中的非支配解集，然后irank=2。
2. 個體擁擠距離
為了使計算結(jié)果在目標空間比較均勻的分布，維持種群多樣性，對每個個體計算擁擠距離，選擇擁擠距離大的個體，擁擠距離的定義為：
L[i]d=L[i]d+(L[i+1]m?L[i?1]m)/(fmaxm?fminm)
L[i+1]m是第i+1個個體的第m目標函數(shù)值，fmaxm 和 fminm是集合中第m個目標函數(shù)的最大和最小值。
3. 精英策略選擇
精英策略就是保留父代中的優(yōu)良個體直接進入子代，防止獲得的Pareto最優(yōu)解丟失。將第t次產(chǎn)生的子代種群和父代種群合并，然后對合并后的新種群進行非支配排序，然后按照非支配順序添加到規(guī)模為N的種群中作為新的父代。
萬字教你如何用 Python 實現(xiàn)線性規(guī)劃
想象一下，您有一個線性方程組和不等式系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)通常有許多可能的解決方案。線性規(guī)劃是一組數(shù)學和計算工具，可讓您找到該系統(tǒng)的特定解，該解對應于某些其他線性函數(shù)的最大值或最小值。
混合整數(shù)線性規(guī)劃是 線性規(guī)劃 的擴展。它處理至少一個變量采用離散整數(shù)而不是連續(xù)值的問題。盡管乍一看混合整數(shù)問題與連續(xù)變量問題相似，但它們在靈活性和精度方面具有顯著優(yōu)勢。
整數(shù)變量對于正確表示自然用整數(shù)表示的數(shù)量很重要，例如生產(chǎn)的飛機數(shù)量或服務的客戶數(shù)量。
一種特別重要的整數(shù)變量是 二進制變量 。它只能取 零 或 一 的值，在做出是或否的決定時很有用，例如是否應該建造工廠或者是否應該打開或關(guān)閉機器。您還可以使用它們來模擬邏輯約束。
線性規(guī)劃是一種基本的優(yōu)化技術(shù)，已在科學和數(shù)學密集型領(lǐng)域使用了數(shù)十年。它精確、相對快速，適用于一系列實際應用。
混合整數(shù)線性規(guī)劃允許您克服線性規(guī)劃的許多限制。您可以使用分段線性函數(shù)近似非線性函數(shù)、使用半連續(xù)變量、模型邏輯約束等。它是一種計算密集型工具，但計算機硬件和軟件的進步使其每天都更加適用。
通常，當人們試圖制定和解決優(yōu)化問題時，第一個問題是他們是否可以應用線性規(guī)劃或混合整數(shù)線性規(guī)劃。
以下文章說明了線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的一些用例：
隨著計算機能力的增強、算法的改進以及更多用戶友好的軟件解決方案的出現(xiàn)，線性規(guī)劃，尤其是混合整數(shù)線性規(guī)劃的重要性隨著時間的推移而增加。
解決線性規(guī)劃問題的基本方法稱為，它有多種變體。另一種流行的方法是。
混合整數(shù)線性規(guī)劃問題可以通過更復雜且計算量更大的方法來解決，例如，它在幕后使用線性規(guī)劃。這種方法的一些變體是，它涉及使用 切割平面 ，以及。
有幾種適用于線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃的合適且眾所周知的 Python 工具。其中一些是開源的，而另一些是專有的。您是否需要免費或付費工具取決于問題的規(guī)模和復雜性，以及對速度和靈活性的需求。
值得一提的是，幾乎所有廣泛使用的線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃庫都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和編寫的。這是因為線性規(guī)劃需要對（通常很大）矩陣進行計算密集型工作。此類庫稱為求解器。Python 工具只是求解器的包裝器。
Python 適合圍繞本機庫構(gòu)建包裝器，因為它可以很好地與 C/C++ 配合使用。對于本教程，您不需要任何 C/C++（或 Fortran），但如果您想了解有關(guān)此酷功能的更多信息，請查看以下資源：
基本上，當您定義和求解模型時，您使用 Python 函數(shù)或方法調(diào)用低級庫，該庫執(zhí)行實際優(yōu)化工作并將解決方案返回給您的 Python 對象。
幾個免費的 Python 庫專門用于與線性或混合整數(shù)線性規(guī)劃求解器交互：
在本教程中，您將使用SciPy和PuLP來定義和解決線性規(guī)劃問題。
在本節(jié)中，您將看到線性規(guī)劃問題的兩個示例：
您將在下一節(jié)中使用 Python 來解決這兩個問題。
考慮以下線性規(guī)劃問題：
你需要找到X和?使得紅色，藍色和黃色的不平等，以及不平等X 0和? 0，是滿意的。同時，您的解決方案必須對應于z的最大可能值。
您需要找到的自變量（在本例中為 x 和 y ）稱為 決策變量 。要最大化或最小化的決策變量的函數(shù)（在本例中為 z） 稱為 目標函數(shù) 、 成本函數(shù) 或僅稱為 目標 。您需要滿足的 不等式 稱為 不等式約束 。您還可以在稱為 等式約束 的約束中使用方程。
這是您如何可視化問題的方法：
紅線代表的功能2 X + Y = 20，和它上面的紅色區(qū)域示出了紅色不等式不滿足。同樣，藍線是函數(shù) 4 x + 5 y = 10，藍色區(qū)域被禁止，因為它違反了藍色不等式。黃線是 x + 2 y = 2，其下方的黃色區(qū)域是黃色不等式無效的地方。
如果您忽略紅色、藍色和黃色區(qū)域，則僅保留灰色區(qū)域?；疑珔^(qū)域的每個點都滿足所有約束，是問題的潛在解決方案。該區(qū)域稱為 可行域 ，其點為 可行解 。在這種情況下，有無數(shù)可行的解決方案。
您想最大化z。對應于最大z的可行解是 最優(yōu)解 。如果您嘗試最小化目標函數(shù)，那么最佳解決方案將對應于其可行的最小值。
請注意，z是線性的。你可以把它想象成一個三維空間中的平面。這就是為什么最優(yōu)解必須在可行區(qū)域的 頂點 或角上的原因。在這種情況下，最佳解決方案是紅線和藍線相交的點，稍后您將看到。
有時，可行區(qū)域的整個邊緣，甚至整個區(qū)域，都可以對應相同的z值。在這種情況下，您有許多最佳解決方案。
您現(xiàn)在已準備好使用綠色顯示的附加等式約束來擴展問題：
方程式 x + 5 y = 15，以綠色書寫，是新的。這是一個等式約束。您可以通過向上一張圖像添加相應的綠線來將其可視化：
現(xiàn)在的解決方案必須滿足綠色等式，因此可行區(qū)域不再是整個灰色區(qū)域。它是綠線從與藍線的交點到與紅線的交點穿過灰色區(qū)域的部分。后一點是解決方案。
如果插入x的所有值都必須是整數(shù)的要求，那么就會得到一個混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，可行解的集合又會發(fā)生變化：
您不再有綠線，只有沿線的x值為整數(shù)的點?？尚薪馐腔疑尘吧系木G點，此時最優(yōu)解離紅線最近。
這三個例子說明了 可行的線性規(guī)劃問題 ，因為它們具有有界可行區(qū)域和有限解。
如果沒有解，線性規(guī)劃問題是 不可行的 。當沒有解決方案可以同時滿足所有約束時，通常會發(fā)生這種情況。
例如，考慮如果添加約束x + y 1會發(fā)生什么。那么至少有一個決策變量（x或y）必須是負數(shù)。這與給定的約束x 0 和y 0相沖突。這樣的系統(tǒng)沒有可行的解決方案，因此稱為不可行的。
另一個示例是添加與綠線平行的第二個等式約束。這兩行沒有共同點，因此不會有滿足這兩個約束的解決方案。
一個線性規(guī)劃問題是 無界的 ，如果它的可行區(qū)域是無界，將溶液不是有限。這意味著您的變量中至少有一個不受約束，可以達到正無窮大或負無窮大，從而使目標也無限大。
例如，假設(shè)您采用上面的初始問題并刪除紅色和黃色約束。從問題中刪除約束稱為 放松 問題。在這種情況下，x和y不會在正側(cè)有界。您可以將它們增加到正無窮大，從而產(chǎn)生無限大的z值。
在前面的部分中，您研究了一個與任何實際應用程序無關(guān)的抽象線性規(guī)劃問題。在本小節(jié)中，您將找到與制造業(yè)資源分配相關(guān)的更具體和實用的優(yōu)化問題。
假設(shè)一家工廠生產(chǎn)四種不同的產(chǎn)品，第一種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x ?，第二種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x 2，依此類推。目標是確定每種產(chǎn)品的利潤最大化日產(chǎn)量，同時牢記以下條件：
數(shù)學模型可以這樣定義：
目標函數(shù)（利潤）在條件 1 中定義。人力約束遵循條件 2。對原材料 A 和 B 的約束可以從條件 3 和條件 4 中通過對每種產(chǎn)品的原材料需求求和得出。
最后，產(chǎn)品數(shù)量不能為負，因此所有決策變量必須大于或等于零。
與前面的示例不同，您無法方便地將其可視化，因為它有四個決策變量。但是，無論問題的維度如何，原理都是相同的。
在本教程中，您將使用兩個Python 包來解決上述線性規(guī)劃問題：
SciPy 設(shè)置起來很簡單。安裝后，您將擁有開始所需的一切。它的子包 scipy.optimize 可用于線性和非線性優(yōu)化。
PuLP 允許您選擇求解器并以更自然的方式表述問題。PuLP 使用的默認求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC)。它連接到用于線性松弛的COIN-OR 線性規(guī)劃求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器庫 (CGL)。
另一個偉大的開源求解器是GNU 線性規(guī)劃工具包 (GLPK)。一些著名且非常強大的商業(yè)和專有解決方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。
除了在定義問題時提供靈活性和運行各種求解器的能力外，PuLP 使用起來不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案復雜，后者需要更多的時間和精力來掌握。
要學習本教程，您需要安裝 SciPy 和 PuLP。下面的示例使用 SciPy 1.4.1 版和 PuLP 2.1 版。
您可以使用pip以下方法安裝兩者：
您可能需要運行pulptest或sudo pulptest啟用 PuLP 的默認求解器，尤其是在您使用 Linux 或 Mac 時：
或者，您可以下載、安裝和使用 GLPK。它是免費和開源的，適用于 Windows、MacOS 和 Linux。在本教程的后面部分，您將看到如何將 GLPK（除了 CBC）與 PuLP 一起使用。
在 Windows 上，您可以下載檔案并運行安裝文件。
在 MacOS 上，您可以使用 Homebrew：
在 Debian 和 Ubuntu 上，使用apt來安裝glpk和glpk-utils：
在Fedora，使用dnf具有g(shù)lpk-utils：
您可能還會發(fā)現(xiàn)conda對安裝 GLPK 很有用：
安裝完成后，可以查看GLPK的版本：
有關(guān)詳細信息，請參閱 GLPK 關(guān)于使用Windows 可執(zhí)行文件和Linux 軟件包進行安裝的教程。
在本節(jié)中，您將學習如何使用 SciPy優(yōu)化和求根庫進行線性規(guī)劃。
要使用 SciPy 定義和解決優(yōu)化問題，您需要導入scipy.optimize.linprog()：
現(xiàn)在您已經(jīng)linprog()導入，您可以開始優(yōu)化。
讓我們首先解決上面的線性規(guī)劃問題：
linprog()僅解決最小化（而非最大化）問題，并且不允許具有大于或等于符號 ( ) 的不等式約束。要解決這些問題，您需要在開始優(yōu)化之前修改您的問題：
引入這些更改后，您將獲得一個新系統(tǒng)：
該系統(tǒng)與原始系統(tǒng)等效，并且將具有相同的解決方案。應用這些更改的唯一原因是克服 SciPy 與問題表述相關(guān)的局限性。
下一步是定義輸入值：
您將上述系統(tǒng)中的值放入適當?shù)牧斜?、元組或NumPy 數(shù)組中：
注意：請注意行和列的順序！
約束左側(cè)和右側(cè)的行順序必須相同。每一行代表一個約束。
來自目標函數(shù)和約束左側(cè)的系數(shù)的順序必須匹配。每列對應一個決策變量。
下一步是以與系數(shù)相同的順序定義每個變量的界限。在這種情況下，它們都在零和正無窮大之間：
此語句是多余的，因為linprog()默認情況下采用這些邊界（零到正無窮大）。
注：相反的float("inf")，你可以使用math.inf，numpy.inf或scipy.inf。
最后，是時候優(yōu)化和解決您感興趣的問題了。你可以這樣做linprog()：
參數(shù)c是指來自目標函數(shù)的系數(shù)。A_ub和b_ub分別與不等式約束左邊和右邊的系數(shù)有關(guān)。同樣，A_eq并b_eq參考等式約束。您可以使用bounds提供決策變量的下限和上限。
您可以使用該參數(shù)method來定義要使用的線性規(guī)劃方法。有以下三種選擇：
linprog() 返回具有以下屬性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
您可以分別訪問這些值：
這就是您獲得優(yōu)化結(jié)果的方式。您還可以以圖形方式顯示它們：
如前所述，線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解位于可行區(qū)域的頂點。在這種情況下，可行區(qū)域只是藍線和紅線之間的綠線部分。最優(yōu)解是代表綠線和紅線交點的綠色方塊。
如果要排除相等（綠色）約束，只需刪除參數(shù)A_eq并b_eq從linprog()調(diào)用中刪除：
解決方案與前一種情況不同。你可以在圖表上看到：
在這個例子中，最優(yōu)解是紅色和藍色約束相交的可行（灰色）區(qū)域的紫色頂點。其他頂點，如黃色頂點，具有更高的目標函數(shù)值。
您可以使用 SciPy 來解決前面部分所述的資源分配問題：
和前面的例子一樣，你需要從上面的問題中提取必要的向量和矩陣，將它們作為參數(shù)傳遞給.linprog()，然后得到結(jié)果：
結(jié)果告訴您最大利潤是1900并且對應于x ? = 5 和x ? = 45。在給定條件下生產(chǎn)第二和第四個產(chǎn)品是沒有利潤的。您可以在這里得出幾個有趣的結(jié)論：
opt.statusis0和opt.successis True，說明優(yōu)化問題成功求解，最優(yōu)可行解。
SciPy 的線性規(guī)劃功能主要用于較小的問題。對于更大和更復雜的問題，您可能會發(fā)現(xiàn)其他庫更適合，原因如下：
幸運的是，Python 生態(tài)系統(tǒng)為線性編程提供了幾種替代解決方案，這些解決方案對于更大的問題非常有用。其中之一是 PuLP，您將在下一節(jié)中看到它的實際應用。
PuLP 具有比 SciPy 更方便的線性編程 API。您不必在數(shù)學上修改您的問題或使用向量和矩陣。一切都更干凈，更不容易出錯。
像往常一樣，您首先導入您需要的內(nèi)容：
現(xiàn)在您已經(jīng)導入了 PuLP，您可以解決您的問題。
您現(xiàn)在將使用 PuLP 解決此系統(tǒng)：
第一步是初始化一個實例LpProblem來表示你的模型：
您可以使用該sense參數(shù)來選擇是執(zhí)行最小化（LpMinimize或1，這是默認值）還是最大化（LpMaximize或-1）。這個選擇會影響你的問題的結(jié)果。
一旦有了模型，就可以將決策變量定義為LpVariable類的實例：
您需要提供下限，lowBound=0因為默認值為負無窮大。該參數(shù)upBound定義了上限，但您可以在此處省略它，因為它默認為正無窮大。
可選參數(shù)cat定義決策變量的類別。如果您使用的是連續(xù)變量，則可以使用默認值"Continuous"。
您可以使用變量x和y創(chuàng)建表示線性表達式和約束的其他 PuLP 對象：
當您將決策變量與標量相乘或構(gòu)建多個決策變量的線性組合時，您會得到一個pulp.LpAffineExpression代表線性表達式的實例。
注意：您可以增加或減少變量或表達式，你可以乘他們常數(shù)，因為紙漿類實現(xiàn)一些Python的特殊方法，即模擬數(shù)字類型一樣__add__()，__sub__()和__mul__()。這些方法用于像定制運營商的行為+，-和*。
類似地，您可以將線性表達式、變量和標量與運算符 ==、=以獲取表示模型線性約束的紙漿.LpConstraint實例。
注：也有可能與豐富的比較方法來構(gòu)建的約束.__eq__()，.__le__()以及.__ge__()定義了運營商的行為==，=。
考慮到這一點，下一步是創(chuàng)建約束和目標函數(shù)并將它們分配給您的模型。您不需要創(chuàng)建列表或矩陣。只需編寫 Python 表達式并使用+=運算符將它們附加到模型中：
在上面的代碼中，您定義了包含約束及其名稱的元組。LpProblem允許您通過將約束指定為元組來向模型添加約束。第一個元素是一個LpConstraint實例。第二個元素是該約束的可讀名稱。
設(shè)置目標函數(shù)非常相似：
或者，您可以使用更短的符號：
現(xiàn)在您已經(jīng)添加了目標函數(shù)并定義了模型。
注意：您可以使用運算符將 約束或目標附加到模型中，+=因為它的類LpProblem實現(xiàn)了特殊方法.__iadd__()，該方法用于指定 的行為+=。
對于較大的問題，lpSum()與列表或其他序列一起使用通常比重復+運算符更方便。例如，您可以使用以下語句將目標函數(shù)添加到模型中：
它產(chǎn)生與前一條語句相同的結(jié)果。
您現(xiàn)在可以看到此模型的完整定義：
模型的字符串表示包含所有相關(guān)數(shù)據(jù)：變量、約束、目標及其名稱。
注意：字符串表示是通過定義特殊方法構(gòu)建的.__repr__()。有關(guān) 的更多詳細信息.__repr__()，請查看Pythonic OOP 字符串轉(zhuǎn)換：__repr__vs__str__ .
最后，您已準備好解決問題。你可以通過調(diào)用.solve()你的模型對象來做到這一點。如果要使用默認求解器 (CBC)，則不需要傳遞任何參數(shù)：
.solve()調(diào)用底層求解器，修改model對象，并返回解決方案的整數(shù)狀態(tài)，1如果找到了最優(yōu)解。有關(guān)其余狀態(tài)代碼，請參閱LpStatus[]。
你可以得到優(yōu)化結(jié)果作為 的屬性model。該函數(shù)value()和相應的方法.value()返回屬性的實際值：
model.objective持有目標函數(shù)model.constraints的值，包含松弛變量的值，以及對象x和y具有決策變量的最優(yōu)值。model.variables()返回一個包含決策變量的列表：
如您所見，此列表包含使用 的構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)建的確切對象LpVariable。
結(jié)果與您使用 SciPy 獲得的結(jié)果大致相同。
注意：注意這個方法.solve()——它會改變對象的狀態(tài)，x并且y！
您可以通過調(diào)用查看使用了哪個求解器.solver：
輸出通知您求解器是 CBC。您沒有指定求解器，因此 PuLP 調(diào)用了默認求解器。
如果要運行不同的求解器，則可以將其指定為 的參數(shù).solve()。例如，如果您想使用 GLPK 并且已經(jīng)安裝了它，那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用。請記住，您還需要導入它：
現(xiàn)在你已經(jīng)導入了 GLPK，你可以在里面使用它.solve()：
該msg參數(shù)用于顯示來自求解器的信息。msg=False禁用顯示此信息。如果要包含信息，則只需省略msg或設(shè)置msg=True。
您的模型已定義并求解，因此您可以按照與前一種情況相同的方式檢查結(jié)果：
使用 GLPK 得到的結(jié)果與使用 SciPy 和 CBC 得到的結(jié)果幾乎相同。
一起來看看這次用的是哪個求解器：
正如您在上面用突出顯示的語句定義的那樣model.solve(solver=GLPK(msg=False))，求解器是 GLPK。
您還可以使用 PuLP 來解決混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。要定義整數(shù)或二進制變量，只需傳遞cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable。其他一切都保持不變：
在本例中，您有一個整數(shù)變量并獲得與之前不同的結(jié)果：
Nowx是一個整數(shù)，如模型中所指定。（從技術(shù)上講，它保存一個小數(shù)點后為零的浮點值。）這一事實改變了整個解決方案。讓我們在圖表上展示這一點：
如您所見，最佳解決方案是灰色背景上最右邊的綠點。這是兩者的最大價值的可行的解決方案x和y，給它的最大目標函數(shù)值。
GLPK 也能夠解決此類問題。
現(xiàn)在你可以使用 PuLP 來解決上面的資源分配問題：
定義和解決問題的方法與前面的示例相同：
在這種情況下，您使用字典 x來存儲所有決策變量。這種方法很方便，因為字典可以將決策變量的名稱或索引存儲為鍵，將相應的LpVariable對象存儲為值。列表或元組的LpVariable實例可以是有用的。
上面的代碼產(chǎn)生以下結(jié)果：
如您所見，該解決方案與使用 SciPy 獲得的解決方案一致。最有利可圖的解決方案是每天生產(chǎn)5.0第一件產(chǎn)品和45.0第三件產(chǎn)品。
讓我們把這個問題變得更復雜和有趣。假設(shè)由于機器問題，工廠無法同時生產(chǎn)第一種和第三種產(chǎn)品。在這種情況下，最有利可圖的解決方案是什么？
現(xiàn)在您有另一個邏輯約束：如果x ? 為正數(shù)，則x ? 必須為零，反之亦然。這是二元決策變量非常有用的地方。您將使用兩個二元決策變量y ? 和y ?，它們將表示是否生成了第一個或第三個產(chǎn)品：
除了突出顯示的行之外，代碼與前面的示例非常相似。以下是差異：
這是解決方案：
事實證明，最佳方法是排除第一種產(chǎn)品而只生產(chǎn)第三種產(chǎn)品。
就像有許多資源可以幫助您學習線性規(guī)劃和混合整數(shù)線性規(guī)劃一樣，還有許多具有 Python 包裝器的求解器可用。這是部分列表：
其中一些庫，如 Gurobi，包括他們自己的 Python 包裝器。其他人使用外部包裝器。例如，您看到可以使用 PuLP 訪問 CBC 和 GLPK。
您現(xiàn)在知道什么是線性規(guī)劃以及如何使用 Python 解決線性規(guī)劃問題。您還了解到 Python 線性編程庫只是本機求解器的包裝器。當求解器完成其工作時，包裝器返回解決方案狀態(tài)、決策變量值、松弛變量、目標函數(shù)等。
文章名稱：python解決目標函數(shù) python目標函數(shù)優(yōu)化模型
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